Расстояния и углы в пространстве как средство формирования пространственного мышления учащихся старшей школы

Автор: СӘДУАҚАС Ақерке Талғатқызы,

учитель математики КГУ

«Школа-гимназия №133», г. Алматы

Аннотация

В статье представлено научно-методическое обоснование элективного курса «Расстояния и углы в пространстве», разработанного для учащихся 10–11 классов. Показана актуальность изучения стереометрии в условиях подготовки школьников к Единому национальному тестированию (ЕНТ). Описаны цели, задачи, структура, методы обучения и ожиданные результаты реализации курса. Особое внимание уделено методике формирования пространственного мышления, роли «ключевых задач» и способам повышения эффективности обучения.

Введение

Современное образование ориентировано на формирование выпускника, способного не только воспроизводить знания, но и применять их в новых ситуациях, проводить анализ, обобщать информацию и решать нестандартные задачи. Особое место в этом процессе занимает школьная геометрия.

Стереометрия — раздел, который традиционно вызывает у учеников наибольшие трудности. Это связано с тем, что пространственные образы не всегда формируются спонтанно; требуется целенаправленная работа по развитию пространственного воображения, способности мысленно преобразовывать объекты, руководствоваться логикой в условиях трехмерного пространства.

Результаты ЕНТ последних лет показывают: сложные стереометрические задачи остаются одним из самых проблемных блоков. Несмотря на наличие знаний по планиметрии, учащиеся с трудом применяют их в пространственных конфигурациях. Снижение количества учеников, выбирающих профильную математику, также связано с этим фактором.

Авторская программа «Расстояния и углы в пространстве» ориентирована на устранение данных проблем. Она построена как практико-ориентированный курс, направленный на развитие у школьников фундаментальных умений анализа пространственных фигур и их элементов.

Современное математическое образование направлено на создание у старшеклассников целостного представления о пространственных отношениях, формировании гибкого пространственного мышления и развитии способности применять геометрические знания в практических, учебных и исследовательских ситуациях, поэтому элективный курс «Расстояния и углы в пространстве», разработанный для учащихся 10–11 классов, занимает особое место среди профильных дисциплин, поскольку позволяет переосмыслить содержание школьной стереометрии с позиции прикладной, методической и экзаменационной значимости, а также создать условия для целенаправленного овладения сложными видами пространственных расчетов, необходимыми для успешного выполнения заданий повышенного уровня сложности ЕНТ. Анализ учебной практики показывает, что многие выпускники испытывают существенные трудности при работе со стереометрическим материалом, так как пространственные конфигурации требуют развитого воображения, умения проводить мысленные преобразования фигур, устанавливать взаимное расположение элементов многогранника, определять характер пересечения прямых и плоскостей, выделять ключевые треугольники и проекции, правильно строить чертежи и логично выстраивать цепочку решений. Недостаток самостоятельного опыта решения пространственных задач приводит к тому, что ученики затрудняются находить углы между прямыми и плоскостями, вычислять расстояния от точки до прямой или плоскости, определять длину общего перпендикуляра между скрещивающимися прямыми, использовать векторный и координатный методы для упрощения вычислений, а также применять планиметрические факты в пространственных моделях, что является одним из ключевых требований компетентностного подхода современного образования. Авторская программа курса строится на идее систематизации методов решения задач на расстояния и углы в связи с «ключевыми задачами», то есть базовыми пространственными конфигурациями, которые лежат в основе большинства стереометрических упражнений. Метод ключевых задач предполагает, что каждая сложная задача скрывает за собой определённый типовой случай: например, расстояние между скрещивающимися прямыми всегда сводится к построению общего перпендикуляра, угол между прямой и плоскостью находится через угол между прямой и её ортогональной проекцией, а двугранный угол определяется через взаимное расположение перпендикуляров к линии их пересечения. Овладение этими моделями позволяет ученикам уверенно распознавать структуру задач, выбирать наиболее рациональные способы решения, сокращать объём необходимых построений и выполнять вычисления без ошибок. Важным компонентом программы является развитие у учащихся самостоятельности, умения анализировать ситуацию, формулировать гипотезы и выбирать наиболее подходящий алгоритм действий для решения поставленной задачи. Поскольку задания ЕНТ регулярно включают стереометрические задачи повышенной сложности, курс ориентирован на то, чтобы обучающиеся могли применять как классические методы (параллельное и ортогональное проектирование, теорему о трёх перпендикулярах, свойства двугранных углов), так и универсальные способы, основанные на аналитической геометрии, векторном подходе и координатном методе. Особое внимание уделяется формированию умений преобразовывать пространственные задачи в плоские, находить вспомогательные элементы, использовать симметрию многогранников, выделять характерные сечения и определять связь между пространственной фигурой и её проекциями. Курс носит практико-ориентированный характер, что предполагает значительное количество вычислительных и построительных упражнений, выполнение исследовательских мини-проектов, коллективных разборов сложных задач, самостоятельных работ и рефлексивных заданий, направленных на осознание учащимися собственных затруднений и способов их преодоления. Он способствует развитию ключевых метапредметных навыков, таких как логическое и критическое мышление, способность анализировать и преобразовывать информацию, навыки точного графического оформления, умение работать в группе, аргументировать своё мнение, а также навыки самооценки. Практическая значимость курса проявляется в том, что содержание разделов «расстояние между точками», «расстояние от точки до прямой», «расстояние от точки до плоскости», «расстояние между прямыми», «угол между двумя прямыми», «угол между прямой и плоскостью» и «двугранный угол» имеет прямое приложение в физике, инженерии, архитектуре, черчении, техническом моделировании, программировании компьютерной графики, проектировании и анализе реальных конструкций, что делает изучение темы важным не только для экзаменационной подготовки, но и для формирования политехнической грамотности учащихся. Реализация программы способствует системному развитию пространственного мышления, которое является необходимой составляющей для дальнейшего изучения высшей математики и естественных наук, поскольку позволяет учащимся мыслить объемно, проводить мысленные преобразования объектов, устанавливать взаимосвязи между многомерными структурами и уверенно ориентироваться в пространственных моделях. По итогам изучения курса учащиеся приобретают умение выполнять сложные пространственные построения, находить геометрические величины различными методами, уверенно использовать алгебраический и тригонометрический аппарат, применять преобразования пространства и методы проектирования, выполнять доказательные рассуждения и объяснять ход решения, а также могут свободно решать стереометрические задачи, которые ранее вызывали затруднения. Реализация подобного курса не только обеспечивает глубокое понимание сущности пространственных зависимостей, но и повышает общий уровень математической культуры учащихся, укрепляет их уверенность в собственных силах, формирует устойчивый интерес к геометрии как науке и создает условия для успешной подготовки к ЕНТ, где владение методами стереометрии является важнейшим компонентом достижения высоких результатов.

При дальнейшем углублении содержания курса важно отметить, что формирование у учащихся умений работать с пространственными объектами невозможно без поэтапного освоения логики рассуждений, основанной на систематическом анализе взаиморасположения прямых, плоскостей и многогранников, что требует введения специальных тренировочных ситуаций, направленных на развитие способности выделять главные элементы рисунка, видеть структуру задачи и предвидеть направление решения ещё до начала вычислений. Такое предвосхищающее мышление формируется не сразу, поэтому авторская программа предполагает постепенное усложнение материала, начиная с простых построений и переходя к сложным пространственным конфигурациям, где требуется использование нескольких методов одновременно. Важной особенностью курса является акцент на том, что невозможно решить стереометрическую задачу механически, без понимания её геометрического смысла, поскольку любое преобразование, любая проекция или вспомогательная линия имеет определённую роль в логике решения. Программа целенаправленно учит видеть необходимость каждого шага, тем самым развивая у учащихся математическую культуру и дисциплину мышления. Большое место уделяется также развитию способности к интерпретации чертежа: учащиеся учатся отличать вспомогательные элементы от основных, правильно обозначать фигуры, проводить линии так, чтобы они отражали реальную пространственную картину, а не произвольную плоскую схему, поскольку некорректный чертёж нередко приводит к неправильным выводам уже на начальном этапе решения. Именно в этом проявляется практическая ценность курса: ученик учится видеть, какие элементы задачи являются ключевыми, а какие — только следствием их взаимного расположения. Кроме того, программа направлена на формирование у учащихся внутренней визуализации многогранников, что позволяет им мысленно вращать фигуры, представлять сечения, проекции и скрытые элементы, не прибегая к физическим моделям. Хотя использование моделей призм, пирамид и параллелепипедов является важной частью обучения, способность мысленно оперировать ими — признак сформированного пространственного мышления. Этому способствуют регулярные задания на построение мысленных сечений, определение углов и расстояний без явного чертежа, анализ трехмерной структуры фигур по описанию, выявление скрытых прямых и плоскостей, а также преобразование задач в эквивалентные плоские модели. Курс также формирует умения переходить от реальной пространственной модели к её условному математическому описанию, что является критически важным навыком для учеников, планирующих обучение в инженерных, архитектурных, физико-математических и IT-направлениях. С помощью таких заданий учащиеся начинают понимать, что геометрия — это не набор отдельных теорем, а целостная система, где каждый объект описывается набором свойств, взаимосвязанных и логически обоснованных. Программа предоставляет учащимся возможность применять тригонометрические соотношения, свойства параллельного и ортогонального проектирования, алгебраические методы и координатную геометрию в пространственных задачах, тем самым создавая межпредметные связи и укрепляя уровень математической подготовки в целом. Большой объём практических работ формирует у учащихся уверенность в том, что любая стереометрическая задача имеет решение, если её правильно представить, разбить на этапы, выделить главные элементы и подобрать подходящий метод. Одним из важнейших результатов, достигаемых в ходе изучения курса, является способность учащегося самостоятельно выбирать метод решения: геометрический, координатный, векторный или комбинированный. Такой выбор требует не только знаний, но и аналитического мышления, что позволяет ученику оценить сложность задачи, увидеть возможные пути её преобразования и выбрать наиболее эффективный — это умение является ключевым в экзаменационной ситуации, где время ограничено, а цена ошибки высока. Кроме того, авторская программа предусматривает выполнение заданий, направленных на развитие математической речи учащихся: они учатся грамотно формулировать шаги решения, объяснять смысл каждого преобразования, приводить корректные доказательства и использовать точные геометрические термины. Такой подход позволяет избежать распространённых ошибок, связанных с логическими разрывами, неоправданным применением теорем или неверной трактовкой пространственных элементов. Благодаря этому учащиеся учатся мыслить более последовательно и аргументированно, что отражается не только в успешной сдаче ЕНТ, но и в общем уровне их интеллектуального развития. Отдельное внимание уделяется формированию устойчивой мотивации: курс построен таким образом, что учащиеся видят практическую пользу изучаемых тем, начинают понимать, что умение определять расстояния и углы в пространстве лежит в основе множества реальных профессий — от инженерии до медицины, от архитектуры до графического дизайна, от программирования 3D-моделей до проектирования сложных технических систем. Осознание реальной ценности изучаемого материала повышает интерес учащихся и способствует формированию у них положительной учебной мотивации. Важно подчеркнуть, что курс способствует формированию навыков сотрудничества: многие задания выполняются в парах или группах, что позволяет учащимся обсуждать решения, сравнивать подходы, учиться объяснять свои идеи и воспринимать альтернативные точки зрения. Такой формат помогает им лучше осваивать материал, поскольку обсуждение сложных задач способствует более глубокому пониманию взаимосвязей между элементами многогранника и методов его анализа. Учитель в этом курсе выступает не только источником информации, но и организатором мыслительной деятельности учащихся, направляя их внимание на ключевые моменты, стимулируя поиск собственных решений и поддерживая развитие самостоятельности. Программа также включает элементы самоконтроля и рефлексии, что позволяет учащимся отслеживать собственный прогресс, видеть свои сильные и слабые стороны, корректировать стратегию обучения и повышать ответственность за результаты своей работы. Благодаря комплексному подходу, систематичности подачи материала и акценту на развитие логического и пространственного мышления курс становится важным инструментом подготовки к будущему профессиональному образованию, поскольку многие специальности требуют способности работать с пространственными моделями, анализировать структуры, проводить трёхмерные расчёты и мыслить на уровне абстрактных пространственных конструкций. Таким образом, программа «Расстояния и углы в пространстве» не только способствует успешной сдаче ЕНТ, но и формирует универсальные навыки, необходимые для дальнейшего обучения и профессиональной деятельности, делая её ценным и практически значимым компонентом школьного математического образования.

Заключение

Элективный курс «Расстояния и углы в пространстве» является эффективным инструментом формирования пространственного мышления и подготовки старшеклассников к ЕНТ. Его содержание соответствует современным требованиям образования, а структура ориентирована на практическую деятельность учащихся. Использование метода ключевых задач делает обучение осмысленным, уменьшает уровень стресса и повышает уверенность школьников при решении стереометрических задач.

Курс может быть рекомендован для внедрения во всех образовательных организациях, реализующих углублённое обучение математике.

Список литературы

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия: 10–11 классы. — М.: Просвещение, 2016.
2. Балк М. Б. Стереометрия: учебное пособие для учащихся старших классов. — М.: Наука, 2012.
3. Громов А. С. Методика преподавания геометрии в средней школе. — М.: Академкнига, 2009.
4. Фридман Л. М. Развитие пространственного мышления учащихся при изучении геометрии. — М.: Педагогика, 1985.
5. Эрдниев П. М. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. — М.: Просвещение, 1991.
6. Кабанова-Меллер Е. Н. Формирование пространственных представлений у школьников. — М.: Педагогика, 1983.
7. Ministry of Education RK. Типовая учебная программа по предмету “Геометрия” для 10–11 классов. — Астана, 2021.